题目内容

如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,OB=2
3
,∠OAB=30°,将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB边上,点O与点D重合,折精英家教网痕为BE.
(1)求点E和点D的坐标;
(2)求经过O、D、A三点的二次函数图象的解析式.
分析:(1)过点D作DF⊥OA,垂足为F,由图形折叠的性质可知△BOE≌△BDE,在直角三角形OAB中,OB=2
3
,∠OAB=30°,根据锐角三角函数的定义可计算出A,B两点的坐标,根据三角形全等及三角形内角与外角的关系可知∠BEO=60°,BD=
1
2
AB,再根据锐角三角函数的定义及三角形中位线定理即可求出D、E两点的坐标.
(2)由(1)可知A、D两点的坐标,O为原点,根据此特点设出二次函数的解析式,把A、D两点分别代入即可求出未知数的值,进而求出其解析式.
解答:精英家教网解:(1)过点D作DF⊥OA,垂足为F,因为Rt△AOB沿BE折叠时,OB边落在AB边上,点O与点D重合,
所以,∠OBE=∠DBE,OB=DB(1分).
由Rt△AOB中,∠OAB=30°,
得∠ABO=60°,
且OA=OBcot30°=6,
得点A(6,0)(1分).
在Rt△AOB中,由∠OBE=30°,得OE=2,得点E(2,0)(1分);
Rt△AOB中,由∠OAB=30°得AB=2OB=2DB,
所以D是AB的中点,
得DF=
1
2
OB
=
3
,OF=
1
2
OA
=3,
得点D(3,
3
)(2分).

(2)设经过O、D、A三点的二次函数图象的解析式为y=ax2+bx.
把A(6,0),D(3,
3
))入y=ax2+bx,
36a+6b=0
9a+3b=
3
.(2分)
解得
a=-
3
9
b=
2
3
3
.(2分)
所以,经过O、D、A三点的二次函数图象的解析式为y=
-
3
9
x2+
2
3
3
x(1分).
点评:本题综合考查了图形折叠及直角三角形的性质,二次函数图象上点的坐标特点,难度不大,但有一定的综合性,是一道好题.
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