题目内容

已知∠MAN,AC平分∠MAN。

⑴在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°求证:AB+AD=AC;
⑵在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则⑴中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
见解析
此题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及含30°角的直角三角形的知识
(1)根据含30°角的直角三角形的性质进行证明;
(2)作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F.根据角平分线的性质,得CE=CF,根据等角的补角相等,得∠CDE=∠ABC,再根据AAS得到△CDE≌△CBF,则DE=BF.再由∠MAN=120°,AC平分∠MAN,得到∠ECA=∠FCA=30°,从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半,得到,等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立.
(1)∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴∠CAD=∠CAB=60°.
又∠ABC=∠ADC=90°,

∴AB+AD=AC.
(2)结论仍成立.理由如下:作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F.则∠CED=∠CFB=90°,

∵AC平分∠MAN,
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC,
在△CDE和△CBF中,

∴△CDE≌△CBF(AAS),
∴DE=BF.
∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴∠MAC=∠NAC=60°,∴∠ECA=∠FCA=30°,
在Rt△ACE与Rt△ACF中,则有
则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF==AC.
∴AD+AB=AC.
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