题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，过点
（
， 
）的直线
交
轴的正半轴于点
， 
．
（1）求直线
的解析式；（直接写出结果）
（2）如图2，点
是
轴上一动点，以
为圆心， 
为半径作⊙
，当⊙
与
相切时，设切点为
，求圆心
的坐标；
（3）在（2）的条件下，点
在
轴上，△
是以
为底边的等腰三角形，求过点
、
、
三点的抛物线．
【答案】（1）直线
的解析式为
；
（2）当⊙
与
相切时，点
坐标为（
， 
）或（
， 
）；
（3）过点
、
、
三点的抛物线为
或
【解析】试题分析：(1)、根据Rt△AOB的性质求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出函数解析式；(2)、根据⊙
在直线AB的左侧和右侧两种情况以及圆的切线的性质分别求出AC的长度，从而得出点C的坐标；(3)、本题也需要分两种情况进行讨论：⊙
在直线
的右侧相切时得出点D的坐标，根据等边△
的性质得出
的坐标，从而根据待定系数法求出抛物线的解析式；⊙
在直线
的左侧相切时，根据切线的直角三角形的性质求出点
的坐标，根据待定系数法求出抛物线的解析式.
试题解析：（1）∵
（
， 
），∴
． 在Rt△
中， 
．
， 
． 
． ∴
（
， 
）．
设直线
的解析式为
．
则
解得
∴直线
的解析式为
．
（2）如图3，①当⊙
在直线
的左侧时， ∵⊙
与
相切，∴
．
在Rt△
中， 
． 
， 
， 
．
而
，∴
与
重合，即
坐标为（
， 
）．
②根据对称性，⊙
还可能在直线
的右侧，与直线
相切，此时
．
∴
坐标为（
， 
）．
综上，当⊙
与
相切时，点
坐标为（
， 
）或（
， 
）．
（3）如图4，①⊙ 
在直线
的右侧相切时，点
的坐标为（
， 
）．
此时△
为等边三角形．∴
（
， 
）．
设过点
、
、
三点的抛物线的解析式为
．
则
∴
②当⊙
在直线
的左侧相切时， 
（
， 
）
设
，则
， 
． 在Rt△
中， 
．
， 即
，
∴
（
， 
）．
设过点
、
、
三点的抛物线的解析式为
．
则
． 
．
综上，过点
、
、
三点的抛物线为
或
．
