题目内容
【题目】如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足
．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；
（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【答案】（1）8；（2）c=
或c=14；（3）t=
秒或t=8秒．
【解析】试题分析：（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式即可求得A、B两点之间的距离；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
试题解析：
（1）∵
，∴a+2=0，b+3a=0，∴a=2，b=6；
∴AB的距离=|ba|=8；
（2）设数轴上点C表示的数为c．
∵AC=2BC，∴|ca|=2|cb|，即|c+2|=2|c6|．
∵AC=2BC＞BC，∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有2≤c≤6，得c+2=2（6c），解得c=
；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，得c+2=2（c6），解得c=14．
故当AC=2BC时，c=
或c=14；
（3）①∵甲球运动的路程为：1t=t，OA=2，∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，∵OB=6，乙球运动的路程为：2t=2t，∴乙球到原点的距离为：62t；
（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t6；
②当0＜t≤3时，得t+2=62t，解得t=
；
当t＞3时，得t+2=2t6，解得t=8．
故当t=
秒或t=8秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
