已知∠AOB=90°.在∠AOB的平分线OM上有一点C.OC=2.将一个三角板的直角顶点与C重合.它的两条直角边分别与OA.OB相交于点D.E．(1)当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时.求证:OD+OE=2．(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时:①在图2这种情况下.上述结论是否还成立?若成立.请给予证明,若不成立.线段OD.OE之间又有怎样的数量关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，OC=

，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E．

（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），求证：OD+OE=2．
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时：
①在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
②在图3这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并给予证明．

分析：（1）求出∠DOC=∠EOC=45°，求出∠DCO=∠DOC，推出OD=DC，根据OC=

求出CD=OD=1，同理OE=CE=1，即可得出答案；
（2）过C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，求出∠NCD=∠ECM，证△CND≌△CME，推出ND=ME，即可得出答案；
（3）过C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，求出∠NCD=∠ECM，证△CND≌△CME，推出ND=ME，即可得出答案．

解答：（1）证明：如图1，∵∠AOB=90°，∠AOB的平分线OM，
∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵CD⊥OA，
∴∠CDO=90°，
∴∠DCO=45°，
∴∠DCO=∠DOC，
∴OD=DC，
∵OC=

，
∴CD=OD=1，
同理OE=CE=1，
∴OD+OE=2；

（2）结论还成立，
证明：过C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，
则∠CND=∠CME=90°，
由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，
∵∠CNO=∠CMO=∠AOB=90°，
∴∠MCN=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠NCD=∠ECM=90°-∠DCM，
在△CND和△CME中

∠CND=∠CME

CN=CM

∠NCD=∠MCE

∴△CND≌△CME（ASA），
∴ND=ME，
∴OD+OE=1-MD+1+ME=2，
即结论还成立；

（3）结论不成立，是OE-OD=2，
证明：证明：过C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，
则∠CND=∠CME=90°，
由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，
∵∠CNO=∠CMO=∠AOB=90°，
∴∠MCN=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠NCD=∠ECM=90°-∠DCM，
在△CND和△CME中

∠CND=∠CME

CN=CM

∠NCD=∠MCE

∴△CND≌△CME（ASA），
∴ND=ME，
∴OE-OD=（1+ME）-（ND-1）=2，
即结论不成立，是OE-OD=2．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力、猜想能力和推理能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．