Question

【题目】如图，将放在平面直角坐标系中，点，点，点动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动，同一时间，动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.过点作，交于点，连接，设运动时间为秒(t.

（Ⅰ）用含的代数式表示；

（Ⅱ）①是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

②是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

（Ⅲ）在整个运动过程中，求出线段的中点所经过的路径长.（直接写出结果即可）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①存在，；②不存在，四边形不能为菱形，见解析；（Ⅲ）线段中点所经过的路径长为.

【解析】

（Ⅰ）根据题意得到OQ=2t，AP=t，求出BQ=8-2t，证明△ADP∽△ABO，根据相似三角形的性质求出PD；
（Ⅱ）①根据平行四边形的判定方法得出BQ=DP，列出关于t的方程，解方程即可；②先根据勾股定理得出AB的长，再根据平行线分线段成比例定理可得AD=，，根据①中是平行四边形时t的值求出PD和BD的值即可判定.

（Ⅲ）根据点Q在BO上运动，点P在AO上运动，得出线段PQ的中点M的运动路径为一条线段，确定点Q分别与点O、点B重合时PQ的中点M的位置，再进一步求解可得．

解：（I）∵点，点，

∴， ，

且由题意， ， ，

∵，

∴，

又，， ，

∴

∴.

（Ⅱ）①∵，若，

∴则四边形是平行四边形，

即，解得：.

∴当时，∴四边形为平行四边形.

②不存在，理由如下：

∵， ，

∴在中， ，

∵，∴，，，

∴当，四边形为平行四边形时，

，

∴，

∴四边形PDBC不能为菱形.

（Ⅲ））∵点Q在BO上运动，点P在AO上运动，

∴线段PQ的中点M的运动路径为一条线段，

∵当Q在点O时，点P在点A处，
∵点M为PQ的中点

∴OM=PQ=，
∵当Q在点B时，AP=4，则OP=2

此时，连接PQ，取PQ的中点，过作OA于E，

∴OE=1，
∴EM=2，
∵AO⊥BO、E⊥OA，
∴E∥BO，
∵为PQ的中点，
∴E为△BOP的中位线，
∴E=BO=4，
点M的运动路径为M==2．