Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan∠CEB= ，BE=5 ，求AC、BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，

∴∠OCP=∠D=90°，

∴OC∥AD．

∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．

即AC平分∠DAB．

（2）解：PC=PF．

理由：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠PCB+∠ACD=90°

又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．

又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．

∴∠PFC=∠PCF．

∴PC=PF．

（3）解：如图2，连接AE．∵∠ACE=∠BCE，

∴ ，

∴AE=BE．

又∵AB是直径，

∴∠AEB=90°．AB= BE=10，

∵tan∠CEB=tan∠CAB= ，

∴ = ．

设BC=3x，则CA=4x，

在Rt△ABC中，（3x）2+（4x）2=100

解得x=﹣2（舍）或x=2，

∴BC=6，AC=8．

【解析】（1）先判断出∠OAC=∠OCA，再判断出OC∥AD，即可得出结论；（2）先判断出∠CAD+∠ACD=90°，进而得出∠PFC=∠PCF即可得出结论；（3）先求出AB=10，再找出3CA=4BC，最后用勾股定理即可得出结论．