Question

（2012•益阳）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；
（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；
（3）首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，

∠ABE=∠BCF AB=BC ∠BAE=∠CBF

∴△ABE≌△BCF．…（4分）

（2）解：∵正方形面积为3，
∴AB=

3

，…（5分）
在△BGE与△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，
∴△BGE∽△ABE，…（7分）
∴

S△BGE

S△ABE

=(

BE

AE

)2，
又∵BE=1，
∴AE²=AB²+BE²=3+1=4，
∴S_△BGE=

BE2

AE2

×S_△ABE=

1

4

×

3

2

=

3

8

．…（8分）

（3）解：没有变化． …（9分）
理由：∵AB=

3

，BE=1，
∴tan∠BAE=

1

3

=

3

3

，∠BAE=30°，…（10分）
∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，
设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，
∴△BAG≌△HAG，…（11分）
∴S_{四边形GHE′B′}=S_△AB′E′-S_△AGH=S_△ABE-S_△ABG=S_△BGE．
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化．…（12分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．