题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数
的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为
的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；
（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）E（
，）．
【解析】
试题分析：（1）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，即可解决问题．
（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，
），Q1（m+2，
），构建二次函数，利用二次函数性质即可解决问题．
（3）存在，首先证明EF是线段AM的中垂线，利用方程组求交点E坐标即可．
试题解析：（1）把点A（3，3）代入
中，得：3=9+3b，解得：b=﹣2，∴二次函数的表达式为．
（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．
∵PE⊥QQ1，QQ1⊥x轴，∴PE∥x轴，∵直线OA的解析式为y=kx，∴∠QPE=45°，∴PE=
PQ=2．
设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，），Q1（m+2，），∴PP1=
，QQ1=
，∴
=
（PP1+QQ1）PE=
=
，∴当m=时，取最大值，最大值为．
（3）存在．
如图2中，点E的对称点为F，EF与AM交于点G，连接OM、MF、AF、OF．
∵S△AOF=S△AOM，∴MF∥OA，∵EG=GF，
，∴AG=GM，∵M（1，﹣1），A（3，3），∴点G（2，1），∵直线AM解析式为y=2x﹣3，∴线段AM的中垂线EF的解析式为
，由
，解得
，∴点E坐标为（，）．
