Question

a、b是实数，如果已知

4

a4

-

2

a2

-3=0，且b⁴+b²-3=0，那么

a4b4+4

a4

的值是（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

分析：解法一：假设m=

2

a2

，n=b²将

4

a4

-

2

a2

-3=0转化为一元二次方程m²-m-3=0，b⁴+b²-3=0转化为一元二次方程n²+n-3=0
利用公式法解这两个一元二次方程，得到m、n的值（不合题意，舍去）．
将

a4b4+4

a4

转化为m²+n²，再进一步转化（m+n）²-2mn，用完全平方公式与平方差公式即可求解．
解法二：假设m=-

2

a2

，n=b²，则根据已知与一元二次方程的根与系数的关系，那么m、n可以看作是方程x²+x-3=0的两个根
则m+n=-1，mn=-3
该式

a4b4+4

a4

可变换为m²+n²=（m+n）²-2mn，至此问题得以解决．

解答：解：解法一：令m=

2

a2

，n=b²
则

4

a4

-

2

a2

-3=0，转化为m²-m-3=0，b⁴+b²-3=0转化为n²+n-3=0，
解方程m²-m-3=0得m=

1+ 13

2

或m=

1- 13

2

，
由于m=

2

a2

＞0，m=

1+ 13

2

，
同理解方程n²+n-3=0得n=

-1+ 13

2

，n=

-1- 13

2

（不合题意，舍去），
所以m=

1+ 13

2

，n=

-1+ 13

2

，
因而

a4b4+4

a4

=b4+

4

a4

=m²+n²=（m+n）²-2mn=(

13)

2-2×3=7；
故选B．

解法二：设m=-

2

a2

，n=b²，则根据题意m、n可以看作是方程x²+x-3=0的两个根，
∴m+n=-1，mn=-3，

a4b4+4

a4

=（-

2

a2

）²+（b²）²，
=m²+n²，
=（m+n）²-2mn，
=（-1）²-2×（-3），
=1+6，
=7．
故选B．

点评：这道题目确实很好，也很难，可谓是一道综合题，涉及到一元二次方程根与系数的关系求解、换元法、平方差公式、完全平方公式，即使做为大题出现也不为过．同学们一定要重视本题的解题思路．对于解法二具有一定层次的同学可以参考．