Question

已知m是实数．如果关于x的方程x²-2x-m=0没有实数根，那么关于x的一元二次方程mx²+（2m+1）x+m-1=0是否有实数根？说明理由．

Answer 1

分析：先根据判别式的意义得到（-2）²-4×（-m）＜0，解得m＜-1，再计算一元二次方程mx²+（2m+1）x+m-1=0的判别式△′=（2m+1）²-4m（m-1）=8m+1，则可判断△′＜0，然后再根据判别式的意义判断一元二次方程mx²+（2m+1）x+m-1=0根的情况．

解答：解：关于x的一元二次方程mx²+（2m+1）x+m-1=0没有实数根．理由如下：
∵关于x的方程x²-2x-m=0没有实数根，
∴△=（-2）²-4×（-m）＜0，
∴m＜-1，
一元二次方程mx²+（2m+1）x+m-1=0的判别式△′=（2m+1）²-4m（m-1）=8m+1，
∵m＜-1，
∴8m+1＜0，即△′＜0，
∴关于x的一元二次方程mx²+（2m+1）x+m-1=0没有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．