题目内容
【题目】如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠ACB的平分线交⊙O于D,过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E,连接AD,BD.
(1)由AB,BD, 围成的曲边三角形的面积是;
(2)求证:DE是⊙O的切线;
(3)求线段DE的长.
【答案】
(1) +
(2)解:由(1)知∠AOD=90°,即OD⊥AB,
∵DE∥AB,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(3)解:∵AB=10、AC=6,
∴BC= =8,
过点A作AF⊥DE于点F,则四边形AODF是正方形,
∴AF=OD=FD=5,
∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC,
∴tan∠EAF=tan∠CBA,
∴ = ,即 = ,
∴ ,
∴DE=DF+EF= +5= .
【解析】解:(1)如图,连接OD,
∵AB是直径,且AB=10,
∴∠ACB=90°,AO=BO=DO=5,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ABD=∠ACD= ∠ACB=45°,
∴∠AOD=90°,
则曲边三角形的面积是S扇形AOD+S△BOD= + ×5×5= + ,
所以答案是: + ;
【考点精析】关于本题考查的垂径定理和扇形面积计算公式,需要了解垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形;扇形面积S=π(R2-r2)才能得出正确答案.