Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为 ．

Answer 1

【答案】1或2
【解析】解：根据题意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，

∵DE⊥BC，

∴∠FED=90°﹣∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，

∴∠AEF=180°﹣∠BEF=60°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，

∴AC=BCtan∠B=3× = ，∠BAC=60°，

如图①若∠AFE=90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠FAC=∠EFD=30°，

∴CF=ACtan∠FAC= × =1，

∴BD=DF= =1；

如图②若∠EAF=90°，

则∠FAC=90°﹣∠BAC=30°，

∴CF=ACtan∠FAC= × =1，

∴BD=DF= =2，

∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2．

【考点精析】解答此题的关键在于理解含30度角的直角三角形的相关知识，掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．