题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（20，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧OB的长度；
（2）当DE=16时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此
时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
;（2）6或24;（3）E点为
【解析】试题分析: （1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=
AO=10，根据弧长公式求解；
（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=20，又DE=16，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；
（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标．
试题解析: (1)连接BC,
∵A(20,0)，∴OA=20，CA=10，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的长=
=
；
(2)①若D在第一象限，
连接OD，
∵OA是⊙C直径,
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=20，
在Rt△ODE中，
OE=
=
，
∴AE=AOOE=2012=8，
由∠AOB=∠ADE=90°∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴
,即
，
∴EF=6；
②若D在第二象限，
连接OD,
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE==，
∴AE=AO+OE=20+12=32，
由∠AOB=∠ADE=90°∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA
∴,即
，
∴EF=24；
∴EF=6或24；
(3)设OE=x，
①当交点E在O，C之间时，由以点E. C.F为顶点的三角
形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC
中点,即OE=5，
∴E (5,0)；
当∠ECF=∠OAB时，有CE=10x，AE=20x，
∴CF∥AB,有CF=AB，
∵△ECF∽△EAD，
∴
,即
,解得：x=
，
∴E (,0)；
②当交点E在点C的右侧时，
∵∠ECF>∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
连接BE，
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∴CF∥BE，
∴
，
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴CFAD=CEAE，
而AD=2BE，
∴
，
即
,解得x =
,x =
<0(舍去)，
∴E (,0)；
③当交点E在点O的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO
连接BE,得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF∥BE，
∴，
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90，
∴△CEF∽△AED，
∴，
而AD=2BE，
∴，
∴
，
解得x=
,x=
(舍去)，
∵点E在x轴负半轴上，
∴
(,0)，
综上所述：存在以点E. C.F为顶点的三角形与△AOB相似，
此时点E坐标为：E点为.
点睛: 解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.
