题目内容
【题目】如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的动点且BD=CE，连接AD与BE相交于点F，连接CF，下列结论：①△ABD≌△BCE；②∠AFB=120°；③若BD=CD，则FA=FB=FC；④∠AFC=90°，则AF=3BF，其中正确的结论共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
根据等边三角形的性质可得∠C=∠ABC=60°，AB=BC，利用SAS可证明△ABD≌△BCE，可判定①正确；根据全等三角形的性质可得∠BAD=∠EBC，利用三角形外角性质可得∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠ABC=60°，根据平角的定义可得∠AFB=120°，可判定②正确；由BD=CD，BD=CE可得点D、E为BC、AC的中点，根据等边三角形的性质可得AD、BE是BC、AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可判定③正确；过点A作AG⊥BE于G，利用SAS可证明△ABE≌△ADC，根据全等三角形对应边上的高对应相等可得AG=CF，利用HL可证明△ABG≌△ACF，可得AF=BG，由∠AFE=60°可得∠FAG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF=2FG，可得AF=BG=2FG=2BF，即可判定④错误.综上即可得答案.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△BCE，故①正确，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠AFB=180°-∠AFE=120°，故②正确，
∵BD=CD，BD=CE，
∴点D、E为BC、AC的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE、AD是BC、AC的垂直平分线，
∴FA=FB=FC，故③正确，
过点A作AG⊥BE于G，
∵BD=CE，BC=AC，
∴CD=AE，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC，
∵∠AFC=90°，AG⊥BE，
∴AG、CF是BE和AD边上的高，
∴AG=CF，
在△ABG和△ACF中，
，
∴△ABG≌△ACF，
∴AF=BG，
∵AG⊥BE，∠AFE=60°，
∴∠FAG=30°，
∴AF=2FG，
∴BG=2FG，
∴BF=FG，
∴AF=2BF，故④错误，
综上所述：正确的结论有①②③，共3个，
故选C.
