Question

10．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的k个数：x₁，x₂，x₃，…，x_k，称为数列A_k：x₁，x₂，x₃，x_k，其中k为整数且k≥3．定义V（A_k）=|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x_k-1-x_k|．例如，若数列A₅：1，2，3，4，5，则V（A₅）=|1-2|+|2-3|+|3-4|+|4-5|=4．根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知数列A₃：3，5，-2，求V（A₃）；
（2）已知数列A₄：x₁，x₂，x₃，x₄，其中x₁，x₂，x₃，x₄，为4个互不相等的整数，且x₁=3，x₄=7，V（A₄）=4，直接写出满足条件的数列A₄；
（3）已知数列A₅：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中5个数均为非负数，且x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=25．直接写出V（A₅）的最大值和最小值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据定义V（A_k）=|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+…+|x_k-1-x_k|，代入数据即可求出结论；
（2）在数轴上标出x₁、x₄表示的点，利用数形结合可得出x₂、x₃在3到7之间，找出所有的搭配方式，此题得解；
（3）由数列A₅：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中5个数均为非负数，结合绝对值即可得出0≤V（A₅）≤25，此题得解．

解答 解：（1）V（A₃）=|3-5|+|5-（-2）|=2+7=9；
（2）V（A₄）=|3-x₂|+|x₂-x₃|+|x₃-7|=4可看成3条线段的长度和，如图所示．
∵7-3=4，
∴x₂、x₃在3到7之间，
∵x₁，x₂，x₃，x₄为4个互不相等的整数，
∴数列A₄为：3，4，5，7；3，4，6，7；3，5，4，7；3，5，6，7；3，6，4，7；3，6，5，7．
（3）∵x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中5个数均为非负数，
∴x₁≥|x₁-x₂|，x₂≥|x₂-x₃|，x₃≥|x₃-x₄|，x₄≥|x₄-x₅|，x₅≥0，
∴0≤|x₁-x₂|+|x₂-x₃|+|x₃-x₄|+|x₄-x₅|≤x₁+x₂+x₃+x₄+x₅，即0≤V（A₅）≤25．
∴V（A₅）的最大值为25，最小值为0．

点评 本题考查了列代数式、有理数和绝对值，读懂题意熟练掌握新定义式是解题的关键．