Question

【题目】已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC关于点B的奇异分割线．

例如：图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的奇异分割线．

（1）如图2，在△ABC中，若∠A＝50°，∠C＝20°．请过顶点B在图2中画出△ABC关于点B的奇异分割线BD交AC于点D，此时∠ADB＝　 　度；

（2）在△ABC中，∠C＝30°，若△ABC存在关于点B的奇异分割线，画出相应的△ABC及分割线BD，并直接写出此时∠ABC的度数（要求在图中标注∠A、∠ABD及∠DBC的度数）．

Answer 1

【答案】（1）40；（2）∠ABC的值为60°或120°或105°

【解析】

（1）首先了解奇异分割线．的定义，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；

（2）设BD为△ABC的奇异分割线．，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别进行分析．

解：（1）如图所示：直线BD即为所求，此时∠ADB＝90°﹣∠A＝40°．

故答案为40．

（2）设BD为△ABC的奇异分割线，分以下两种情况．

第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC＝∠C＝30°．

当∠A＝90°时，△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝60°．

当∠ABD＝90°时，△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝120°

当∠ADB＝90°时，不符合题意．

第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，

当∠DBC＝90°时，此时BD＝AD，则△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝120°．

当∠BDC＝90°时，此时BD＝AD，则△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝105°

综上所述，满足条件的∠ABC的值为60°或120°或105°