题目内容

两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置，点B、A、D在同一条直线上．
操作：在图中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F，连接CE．证明BF⊥CE．
探究：线段BF、CE的关系，并证明你的结论．
说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将“两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA”改为“两个全等的等腰直角△ABC和等腰直角△EDA（点C、A、E在同一条直线上）”，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得2分．

分析：过点E作EG⊥CB的延长线于点G．可得△BFD和△CGE是等腰直角三角形，可得BF=

2

2

（AB+AD），CE=

2

（AB+AD），由此可得，2BF=CE．

解答：

证明：2BF=CE，且BF⊥CE．
过点E作EG⊥CB的延长线于点G．可得BDEG是矩形，即BD=EG，BG=DE，
设BC=AD=m，AB=DE=n．
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠DBF=45°，
又∵DF⊥BF，
∴∠FDB=45°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∴BF²+DF²=BD²，BF²+BF²=（AB+AD）²=（m+n）²，
∴BF=

2

2

（m+n）．
又∵△CGE也是直角三角形，
∴CE²=CG²+GE²=（CB+BG）²+BD²=（CB+DE）²+（AB+AD）²=（m+n）²+（m+n）²=2（m+n）²∴CE=

2

（m+n）．
由此可得，2BF=CE；
∵∠GCE=∠CBF=45°，
∴CE⊥BF．

点评：此题考查了角平分线的定义和直角三角形的性质，作辅助线是关键．此题比较难．

练习册系列答案

作业本江西教育出版社系列答案

配套练习册系列答案

课时导学案课时作业本系列答案

指南针系列答案

新课标新精编系列答案

综合素质随堂反馈系列答案

目标复习检测卷系列答案

金种子领航考卷系列答案

领航1卷通系列答案

名校全优考卷单元夺冠100分系列答案

相关题目

如图①所示，将一个正三角形纸片沿着它的一条边上的高剪开，得到如图②所示的两个全等的Rt△ABC、Rt△DEF．

（1）根据正三角形的性质可知：在图②中，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE=2AC=2DF．由此请你归纳一下在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边之间的关系：
在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边

；
（2）将这两个直角三角形纸片按如图③放置，使点B、D重合，点F在BC上．固定纸片DEF，将△ABC绕点F逆时针旋转角α（0°＜α＜90°），使四边形ACDE为以ED为底的梯形（如图④所示），求此时α的值；
（3）猜想图④中AE与CD之间的大小关系，并说明理由．

如图，两个全等的Rt△ABC、Rt△EDC的直角顶点放置在一起，∠B=∠D=30°，AB与CD交于点M，ED与BC交于点N，AB与ED交于点F．
（1）求证：△ACM≌△ECN；
（2）当∠MCN=30°时，找出MD与MF的数量关系，并加以说明．

两个全等的Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，其中∠A=60°，∠ACB=∠DFE=90°且AC=1．固定△ABC不动，将△DEF作如下操作：
（1）如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的面积会变吗？若不变请求出其面积；

（2）如图2，当D点移到AB中点时，连接DC、CF、FB，BC与DF相交于点O．除Rt△ABC≌Rt△DEF外，请找出图中其他所有全等三角形，不必写理由；
（3）如图3，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求：sin∠α的值．

（2013•石景山区一模）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上．已知点D （4，2），过A、D两点的直线交y轴于点F．若△ECD沿DA方向以每秒

个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t（秒），记△ECD在平移过程中某时刻为△E′C′D′，E′D′与AB交于点M，与y轴交于点N，C′D′与AB交于点Q，与y轴交于点P（注：平移过程中，点D′始终在线段DA上，且不与点A重合）．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）试探究在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t的取值；若不存在，请说明理由；
（3）以MN为边，在E′D′的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时t的取值范围．

如图①所示，将一个正三角形纸片沿着它的一条边上的高剪开，得到如图②所示的两个全等的Rt△ABC、Rt△DEF．

（1）根据正三角形的性质可知：在图②中，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE=2AC=2DF．由此请你归纳一下在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边之间的关系：
在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边________；
（2）将这两个直角三角形纸片按如图③放置，使点B、D重合，点F在BC上．固定纸片DEF，将△ABC绕点F逆时针旋转角α（0°＜α＜90°），使四边形ACDE为以ED为底的梯形（如图④所示），求此时α的值；
（3）猜想图④中AE与CD之间的大小关系，并说明理由．