题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,点E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于点D,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若⊙O的直径为10,sin∠DAC= ,求BD的长.
【答案】
(1)解:连接OD.
∵OD、OA是⊙O的半径,
∴OA=OD.
∴∠OAD=∠ODA.
∵点D是⊙O的切点,
∴∠ODC=90°
又∵∠C=90°,
∴OD∥AC.
∴∠ODA=∠DAC,
∴∠OAD=∠CAD,
∴AD平分∠BAC.
(2)解:如图2所示:连接ED.
∵⊙O的半径为5,AE是圆O的直径,
∴AE=10,∠EDA=90°.
∵∠EAD=∠CAD,sin∠DAC= ,
∴AD= ×10=4
.
∴DC= ×4
=4,AC=
×4
=8.
∵OD∥AC,
∴△BOD∽△BAC,
∴ =
,即
=
,
解得:BD= .
【解析】(1)连接OD.先依据平行线的判定定理证明OD∥AC,然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠OAD=∠DAC,于是可证明AD平分∠BAC.(2)连接ED、OD.由题意可知AE=10.接下来,在△ADA中,依据锐角三角函数的定义可求得AD的长,然后在△ADC中,可求得DC和AC的长,由OD∥AC可证明△BOD∽△BAC,然后由相似三角形的性质可列出关于BD的方程.

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