题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,点E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于点D,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若⊙O的直径为10,sin∠DAC= ,求BD的长.

【答案】
(1)解:连接OD.

∵OD、OA是⊙O的半径,

∴OA=OD.

∴∠OAD=∠ODA.

∵点D是⊙O的切点,

∴∠ODC=90°

又∵∠C=90°,

∴OD∥AC.

∴∠ODA=∠DAC,

∴∠OAD=∠CAD,

∴AD平分∠BAC.


(2)解:如图2所示:连接ED.

∵⊙O的半径为5,AE是圆O的直径,

∴AE=10,∠EDA=90°.

∵∠EAD=∠CAD,sin∠DAC=

∴AD= ×10=4

∴DC= ×4 =4,AC= ×4 =8.

∵OD∥AC,

∴△BOD∽△BAC,

= ,即 =

解得:BD=


【解析】(1)连接OD.先依据平行线的判定定理证明OD∥AC,然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠OAD=∠DAC,于是可证明AD平分∠BAC.(2)连接ED、OD.由题意可知AE=10.接下来,在△ADA中,依据锐角三角函数的定义可求得AD的长,然后在△ADC中,可求得DC和AC的长,由OD∥AC可证明△BOD∽△BAC,然后由相似三角形的性质可列出关于BD的方程.

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