题目内容
【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,下列四个结论: ①4a+c<0;②m(am+b)+b>a(m≠﹣1);③关于x的一元二次方程ax2+(b﹣1)x+c=0没有实数根;④ak4+bk2<a(k2+1)2+b(k2+1)(k为常数).其中正确结论的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【答案】D
【解析】解:①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1,由图象可得左交点的横坐标大于﹣3,小于﹣2, 所以﹣ =﹣1,
b=2a,
当x=﹣3时,y<0,
即9a﹣3b+c<0,
9a﹣6a+c<0,
3a+c<0,
∵a<0,
∴4a+c<0,
所以此选项结论正确;
②∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,
∴y=a﹣b+c的值最大,
即把x=m(m≠﹣1)代入得:y=am2+bm+c<a﹣b+c,
∴am2+bm<a﹣b,
m(am+b)+b<a,
所以此选项结论不正确;
③ax2+(b﹣1)x+c=0,
△=(b﹣1)2﹣4ac,
∵a<0,c>0,
∴ac<0,
∴﹣4ac>0,
∵(b﹣1)2≥0,
∴△>0,
∴关于x的一元二次方程ax2+(b﹣1)x+c=0有实数根;
④由图象得:当x>﹣1时,y随x的增大而减小,
∵当k为常数时,0≤k2≤k2+1,
∴当x=k2的值大于x=k2+1的函数值,
即ak4+bk2+c>a(k2+1)2+b(k2+1)+c,
ak4+bk2>a(k2+1)2+b(k2+1),
所以此选项结论不正确;
所以正确结论的个数是1个,
故选D.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数图象以及系数a、b、c的关系的相关知识,掌握二次函数y=ax2+bx+c中,a、b、c的含义:a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上; a<0时,抛物线开口向下b与对称轴有关:对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c),以及对抛物线与坐标轴的交点的理解,了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.

【题目】对某厂生产的一批轴进行检验,检验结果中轴的直径的各组频数、频率如表(每组含前一个边界值,不含后一个边界值),且轴直径的合格标准为(单位:mm),有下列结论:①这批被检验的轴总数为50根;②a+b=0.44且x=y;③这批轴中没有直径恰为100.15mm的轴;④这一批轴的合格率是82%,若该厂生产1000根这样的轴,则其中恰好有180根不合格. 其中正确的有______个.
组别(mm) | 频数 | 频率 |
99.55~99.70 | x | a |
99.70~99.85 | 5 | 0.1 |
99.85~100.00 | 21 | 0.42 |
100.00~100.15 | 20 | b |
100.15~100.30 | 0 | 0 |
100.30~100.45 | y | 0.04 |