题目内容
如图所示,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,AB=10,CD=6,E是AB延长线上一点,BE=10 | 3 |
分析:直线DE与半圆O相切.连接OD,作OF⊥CD于点F,作DG⊥OE于点G.通过勾股定理求得OF的长,由已知可得到四边形OFDG是矩形,从而便可求得DG,GE的长,再通过勾股定理判定CD⊥DE,从而证明得到直线DE与半圆O相切.
解答:解:直线DE与半圆O相切.(1分)
证法一:
连接OD,作OF⊥CD于点F.
∵CD=6,
∴DF=
CD=3.(2分)
∵OE=OB+BE=5+
=
.(3分)
∴
=
,
=
=
,
∴
=
.(6分)
∵CD∥AB,
∴∠CDO=∠DOE.(7分)
∴△DOF∽△OED,(8分)
∴∠ODE=∠OFD=90°,
∴OD⊥DE,
∴直线DE与半圆O相切.(10分)
证法二:连接OD,作OF⊥CD于点F,作DG⊥OE于点G.
∵CD=6,
∴DF=
CD=3.
在Rt△ODF中,OF=
=
=4,(3分)
∵CD∥AB,DG⊥AB,OF⊥CD,
∴四边形OFDG是矩形,
∴DG=OF=4,OG=DF=3.
∵OE=OB+BE=5+
=
,GE=OE-OG=
-3=
,(5分)
在Rt△DGE中,DE=
=
=
.
∵(
)2+52=(
)2,
∴OD2+DE2=OE2,(8分)
∴CD⊥DE.
∴直线DE与半圆O相切.(10分)
证法一:
连接OD,作OF⊥CD于点F.
∵CD=6,
∴DF=
1 |
2 |
∵OE=OB+BE=5+
10 |
3 |
25 |
3 |
∴
DF |
OD |
3 |
5 |
OD |
OE |
5 | ||
|
3 |
5 |
∴
DF |
OD |
OD |
OE |
∵CD∥AB,
∴∠CDO=∠DOE.(7分)
∴△DOF∽△OED,(8分)
∴∠ODE=∠OFD=90°,
∴OD⊥DE,
∴直线DE与半圆O相切.(10分)
证法二:连接OD,作OF⊥CD于点F,作DG⊥OE于点G.
∵CD=6,
∴DF=
1 |
2 |
在Rt△ODF中,OF=
OD2-DF2 |
52-32 |
∵CD∥AB,DG⊥AB,OF⊥CD,
∴四边形OFDG是矩形,
∴DG=OF=4,OG=DF=3.
∵OE=OB+BE=5+
10 |
3 |
25 |
3 |
25 |
3 |
16 |
3 |
在Rt△DGE中,DE=
DG2+GE2 |
42+(
|
20 |
3 |
∵(
20 |
3 |
25 |
3 |
∴OD2+DE2=OE2,(8分)
∴CD⊥DE.
∴直线DE与半圆O相切.(10分)
点评:本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
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