Question

如图所示，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C，

AC

=

AD

，CD交AB于E，BF⊥直线L，垂足为F，BF交⊙O于C．
（1）图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；
（2）若sin∠CBF=

5

5

，AE=4，求AB的值．

Answer 1

分析：（1）观察图象知：只有FG的长度与AE相当，可猜想AE=FG，然后着手证明它们相等；求简单的线段相等，通常是证线段所在的三角形全等，那么本题需要构造全等三角形，连接AC、CG，然后证△AEC≌△GCF；连接BD，由于弧AC=弧AD，那么BA⊥CD，根据垂径定理知∠D=∠BCE；由弦切角定理知∠FCB=∠D=∠DCB，那么它们的余角也相等，即∠FBC=∠EBC，那么弧CG=弧AC，即AC=CG，再由角平分线的性质得CF=CE，根据HL即可判定所求的两个三角形全等，由此得证．
（2）由弦切角定理知∠FCG=∠FBC，它们的正弦值也相等，即可在Rt△FCG中，求得CG的长，也就得到了AC的长，在Rt△ACB中，CE⊥AB，由射影定理即可得到AB的长．

解答：解：（1）FG=AE，理由如下：
连接CG、AC、BD；
∵

AC

=

AD

，
∴BA⊥CD，
∴

BC

=

BD

，即∠D=∠BCD；
∵直线L切⊙O于C，
∴∠BCF=∠D=∠BCD，
∴∠FBC=∠ABC，
∴

CG

=

AC

，CE=CF；
∴AC=CG；
△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG=90°，
∴Rt△AEC≌Rt△GCF，则AE=FG．

（2）∵FC切⊙O于C，
∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠CBF=

5

5

；
在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠FCG=4

5

；
∴AC=CG=4

5

；
在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：
AC²=AE•AB，即AB=AC²÷AE=20．

点评：此题主要涉及到：圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、弦切角定理、解直角三角形等知识点；通过构造全等三角形来求得AE=FG是解决此题的关键．