题目内容
【题目】如图，观察每个正多边形中
的变化情况，解答下列问题：
……
(1)将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | …… |
|
| _________ | _________ | _________ | _________ | …… | _________ |
(2)根据规律，是否存在一个正
边形，使其中的
？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.
(3)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的
？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)60°，45°，36°，30°，
；(2)当多边形是正九边形，能使其中的
；(3)不存在，理由见解析.
【解析】
（1）首先根据多边形的内角公式：(n-2)×180°，将n＝3、4、5、6、8、12代入公式分别计算出各多边形的内角和；然后再根据多边形的外角和为360°，即可得到各多边形的内角和，进而完成表格.（2）依据题意得∠α=20°=
，即可求出n的值。（3）依据题意∠α=21°=，求出n的值是否为正整数即可.
解：(1)填表如下：
正多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | …… | n |
|
|
|
|
| …… |
|
，
，
，
，；(可以观察归纳出来，也可以计算出来).
(2)存在一个正
边形，使其中的
理由是：根据题意得：
，
解得：
，
即当多边形是正九边形，能使其中的；
(3)不存在，理由如下：
假设存在正边形使得
，得
，
解得：
，与是正整数矛盾，
所以不存在正边形使得．
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