题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（0， 
），点D与点A关于y轴对称，C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形.
（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）
（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A—D—B—C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时
①t为何值时，⊙P与y轴相切？
②在整个运动过程中⊙P与y轴有公共点的时间共有几秒？简述过程.
（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？
【答案】（1）C(6，3
)， D(3，0) ；（2）①
, 
,
, 
；②
；（3）
【解析】试题分析：（1）由题可知：AD=AB=6，∠DAB=60°，再根据条件就可求出OB及BC的长，从而得到点C和点D的坐标．以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴交点即为点D；以点D为圆心，AB为半径画弧，以点B为圆心，AD为半径画弧，两弧的交点即为点C．
（2）①分点P在AO、OD、BD、BC上四种情况讨论，然后在直角三角形中运用特殊角的三角函数值建立方程，就可解决问题；
②只需求出三个临界位置（点P分别在AO、OD、BD、BC上，且⊙P与y轴相切）对应的t的值，就可解决问题．
（3）过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，采用割补法将S阴影转化为S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′就可解决问题．
试题解析：
（1）由题可知：AD=AB=6，∠DAB=60°．
∵∠AOB=90°，∴AO=3，OB=3
∴OD=AD-OA=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6．
∴点C的坐标为（6，3
），点D的坐标为（3，0）．
作法：①以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴交点即为点D；
②以点D为圆心，AB为半径画弧；以点B为圆心，AD为半径画弧，两弧的交点即为点C．
如图1所示．
（2）①当点P在AO上时，如图所示：
设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切，
则AP=4t
∵AP+OP=AO
∴4t+1+0.5t=3,
∴t=
;
当点P在OD上时，如图所示：
设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切，
OP＝4t－3,
∴4t-3=1+0.5t,
∴t=
,
当点P在BD上时，作PE
OB，如图所示：
设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切，
由PD＝4t-6,
∵BD=
,BP=BD-DP,
∴BP=6-(4t-6)=12-4t,
∵cos∠ODB=
, ∠ODB=∠EPB
∴cos∠EPB=
∴t=2;
当点P在BC上时，如图所示：
设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切，
PB=4t-12
∴4t-12=1+0.5t
∴t=
;
∴当运动时间为
、
、
、
时，⊙P与y轴相切；
②当圆P在AO上与y轴相切至圆P在OD上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为： 
，当圆P在BD上与y轴相切至圆P在BC上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为： 
，所以总时间为
；
（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的图形如图8所示，
过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，如图所示，
则有OH=OAsin∠HAO=3×
，
同理可得：OH′=
，
∵S弓形AR=S扇形OAR-S正△OAR=
，
S扇形OBB′=
，
S扇形OHH′=
S△OHB=S△OH′B′
∴S阴影=S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′
=S弓形AR+S扇形OBB′-S扇形OHH′
＝
＝
∴线段AB扫过的面积是。
