题目内容
【题目】已知抛物线
过点
，与
轴交于点
,
，交y轴于点
，顶点为
．
(1)求抛物线解析式；
(2)在第一象限内的抛物线上求点
，使
，求点的坐标；
(3)
是第一象限内抛物线上一点，
是线段
上一点，点
在点右侧，且满足
，当
为何值时，满足条件的点只有一个？
【答案】(1)
；(2)
；(3)
.
【解析】
（1）已知抛物线过定点，用待定系数法即可求解；（2）过点D作DH⊥y轴交y轴于点H，DH＝HC，OA＝OC，∠DHC＝∠AOC＝90°得△DHC和△AOC都是等腰直角三角形，从而得出∠DCH＝∠ACO＝45°，DC＝
，AC＝
，∠ACD＝90°，DC⊥AC，延长DC至N使CN＝DC＝，根据
，
，得出S△ADC＝S△ACM，得出直线AC的解析式为：y＝x+3，从而得出直线NM的解析式为：y＝x+1，由
求得点M的坐标为：
；（3）延长DF交x轴于点E，过点D作DG⊥x轴交x轴于点G，设OE＝a，则EA＝ED＝a+3，GE＝a+1，在Rt△DGE中，DG2+GE2＝DE2，解得a＝2，解得E（2，0）得直线DE的解析式为：
，联立
，由此可得
，由∠APF是△DPF的一个外角，可得△FDP≌△PAQ，
，易得
，
，，设DP＝x，则PA＝
，则AQ＝m+3，由
，整理得
，令△＝0，解得
．
(1)依题有
解得，
，
抛物线的解析式为
；
(2)过点
作
轴于点
，
由(1)得，
，
，
又
，
和
都是等腰直角三角形，
，
,
,
，即
,
延长
至
使
，
易得
过点作
交抛物线于点
，
，，
，
依题有
的解析式为：
，
设
的解析式为：
将点代入的解析式得，
，
的解析式为：
，
联立
解得，
， 
(舍去)
；
(3)如图，延长
交
轴于点
，过点作
轴于点
，
，
.
设
，则
，
，
在
中，
即
，解得，
.
直线的解析式为：
联立
解得：
，
，
是第一象限内抛物线上一点，
是
的一个外角，
，
，
又
，
，
又
，
，
，
易得，，，
设
，则
，
依题有
，
，
，
整理得，，
.
∵当
时，满足条件的
只有一个,
，
解得，.
