题目内容

【题目】如图,在△ABC中,点OAC边上一动点,过点OBC的平行线交∠ACB的角平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F

(1)求证:EO=FO

(2)当点O运动到何处时,四边形CEAF是矩形?请证明你的结论。

(3)在第(2)问的结论下,若AE=3EC=4AB=12BC=13,请求出凹四边形ABCE的面积.

【答案】(1)证明见解析(2)当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形(324

【解析】

1)根据平行线的性质与等腰三角形的性质即可证明;(2)当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形,由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明;(3)利用凹四边形ABCE的面积=ABC的面积ACE的面积即可求解.

(1)证明:∵EFBC

∴∠OEC=BCE

CE平分∠ACB

∴∠BCE=OCE

∴∠OEC=OCE

EO=CO

同理:FO=CO

EO=FO

(2)当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形;理由如下:

(1)得:EO=FO

又∵OAC的中点,

AO=CO

∴四边形CEAF是平行四边形,

EO=FO=CO

EO=FO=AO=CO

EF=AC

∴四边形CEAF是矩形;

(3)(2)得:四边形CEAF是矩形,

∴∠AEC=90

AC=AE2+EC2=5

ACE的面积=AE×EC=×3×4=6

122+52=132

AB2+AC2=BC2

∴△ABC是直角三角形,BAC=90

∴△ABC的面积=ABAC=×12×5=30

∴凹四边形ABCE的面积=ABC的面积ACE的面积=306=24

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