题目内容
【题目】如图,在等腰中,
,点
是
内一点,连接
,且
,设
.
(1)如图1,若,将
绕点
顺时针旋转
至
,连结
,易证
为等边三角形,则
,
;
(2)如图2,若,则
,
;
(3)如图3,试猜想和
之间的数量关系,并给予证明.
【答案】(1),
(2)
,
(3)
【解析】
(1)将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC,连结DP,只要证明△DAP为等边三角形,即可解决问题;
(2)将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC,连结DP,只要证明△DAP为等腰直角三角形,即可解决问题;
(3)将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC,连结DP,只要证明△BPA≌△BPD(SSS),即可解决问题;
解:(1)如图1中,
由旋转不变性可知: ,
,
,
∵在等腰中,
,
,
∴,CP为三线合一的线
∴ ,
∴
在中,
,
,
∴为等腰直角三角形
∴,
∴,
∴△APD是等边三角形,
∴∠ADP=∠APD=60°,
∵∠CDP=∠CPD=45°,
∴∠ADC=∠APC=∠CPB=105°,
∴∠APB=360°-105°-105°=150°,
∴α=150°,β=105°,
故答案为150°,105°.
(2)将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC,连结DP.
由旋转不变性可知:BP=AD,CD=CP,∠DCP=90°,
∴为等腰直角三角形
∴,
∵,
,
∴,
,
∴△ADP是等腰直角三角形,
∴∠APD=90°,∠ADP=45°,
∴∠APC=135°,∠BPC=∠ADC=90°,
∴∠APB=360°-135°-90°=135°,
∴α=135°,β=90°,
故答案为135°,90°.
(3)将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC,连结DP,延长PB交AD与S,
由旋转不变性可知:BP=AD,CD=CP,∠DCP=90°,
∴为等腰直角三角形
∴,
∵,
∴PA=PD,
∵∠BPC+∠CPS=180°,∠BPC=∠ADC,
∴∠ADC+∠CPS=180°,
∴∠PSD+∠PCD=180°,
∴∠PSD=90°,
∴PS⊥AD,
∵PA=PD,
∴△ADP是等腰直角三角形,
∴SA=SD,
∴△ABP是等腰直角三角形,
∴BA=BD,
∵BP=BP,PA=PD,BA=BD,
∴△BPA≌△BPD(SSS),
∴∠APB=∠BPD,
∴ ∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°,
即: .
