题目内容
【题目】某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．
（1）求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)．
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备．工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
(参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)
【答案】（1）两渔船M，N之间的距离约为20米；（2）施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．
【解析】试题分析：(1)在直角△PEN，利用三角函数即可求得ME的长，根据MN=EM﹣EN求解；
(2)过点D作DN⊥AH于点N，利用三角函数求得AN和AH的长，进而求得△ADH的面积，得到需要填筑的土石方数，再根据结果比原计划提前20天完成，列方程求解.
试题解析：(1)由题意得∠E＝90°，∠PME＝α＝31°，∠PNE＝β＝45°，PE＝30米．
在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，
在Rt△PEM中，tan 31°＝
，∴ME≈
＝50(米)．
∴MN＝EM－EN≈50－30＝20(米)．
答：两渔船M，N之间的距离约为20米．
(2)如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米．
∵背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25，
∴AG＝24×0.25＝6(米)．
∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，
∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42(米)．
∴AH＝GH－GA＝42－6＝36(米)．
∴S△ADH＝
AH·DG＝×36×24＝432(平方米)．
∴需要填筑的土石方为432×100＝43 200(立方米)．
设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米，
根据题意，得10＋
＝
－20.
解方程，得x＝864.
经检验：x＝864是原方程的根且符合题意．
答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．
