Question

【题目】在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣ ，0）、B（ ，0）、C（0，3）．

（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．
（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．
（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2 为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接BD，

∵B（ ，0），C（0，3），

∴OB= ，OC=3，

∴tan∠CBO= = ，

∴∠CBO=60°

∵点D是△ABC的内心，

∴BD平分∠CBO，

∴∠DBO=30°，

∴tan∠DBO= ，

∴OD=1，

∴△ABC内切圆⊙D的半径为1

（2）

解：连接DF，

过点F作FG⊥y轴于点G，

∵E（0，﹣1）

∴OE=1，DE=2，

∵直线EF与⊙D相切，

∴∠DFE=90°，DF=1，

∴sin∠DEF= ，

∴∠DEF=30°，

∴∠GDF=60°，

∴在Rt△DGF中，

∠DFG=30°，

∴DG= ，

由勾股定理可求得：GF= ，

∴F（ ， ），

设直线EF的解析式为：y=kx+b，

∴ ，

∴直线EF的解析式为：y= x﹣1

（3）

解：

∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，

∴该点必为△ABC外接圆的圆心，

由（1）可知：△ABC是等边三角形，

∴△ABC外接圆的圆心为点D

∴DP=2 ，

设直线EF与x轴交于点H，

∴令y=0代入y= x﹣1，

∴x= ，

∴H（ ，0），

∴FH= ，

当P在x轴上方时，

过点P1作P1M⊥x轴于M，

由勾股定理可求得：P1F=3 ，

∴P1H=P1F+FH= ，

∵∠DEF=∠HP1M=30°，

∴HM= P1H= ，P1M=5，

∴OM=2 ，

∴P1（2 ，5），

当P在x轴下方时，

过点P2作P2N⊥x轴于点N，

由勾股定理可求得：P2F=3 ，

∴P2H=P2F﹣FH= ，

∴∠DEF=30°

∴∠OHE=60°

∴sin∠OHE= ，

∴P2N=4，

令y=﹣4代入y= x﹣1，

∴x=﹣ ，

∴P2（﹣ ，﹣4），

综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2 ，5）或（﹣ ，﹣4）

【解析】（1）由A、B、C三点坐标可知∠CBO=60°，又因为点D是△ABC的内心，所以BD平分∠CBO，然后利用锐角三角函数即可求出OD的长度；（2）根据题意可知，DF为半径，且∠DFE=90°，过点F作FG⊥y轴于点G，求得FG和OG的长度，即可求出点F的坐标，然后将E和F的坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线EF的解析式；（3）⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，该点是△ABC的外接圆圆心，即为点D，所以DP=2 ，又因为点P在直线EF上，所以这样的点P共有2个，且由勾股定理可知PF=3 ．本题是圆的综合问题，涉及圆的外接圆和内切圆的相关性质，圆的切线性质，锐角三角函数，一次函数等知识，综合程度较高，需要学生将各知识点灵活运用．