题目内容

如图所示,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,AB=4,BC=6,AD=8,点P、Q同时从A点出发,分别做匀速运动,其中点P沿AB、BC向终点C运动,速度为每秒2个单位,点Q沿AD向终点D运动,速度为每秒1个单位,当这两点中有一个点到达自己的终点时,另一个点也停止运动,设这两个点从出发运动了t秒.
(1)动点P与Q哪一点先到达自己的终点?此时t为何值;
(2)当O<t<2时,写出△PQA的面积S与时间t的函数关系式;
(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切?若有可能,求出t的值或t的取值范围;若不可能,请说明理由.
(1)∵当P到c点时,t=5(秒),
当Q到D点时,t=8(秒),
∴点P先到达终点,此时t为5秒;

(2)如图,作BE⊥AD于点E,PF⊥AD于点F.
AE=2,在Rt△ABE中∠A=60°,PF=
3
t,
∴s=
3
2
t2(0<t<2);

(3)当0<t<2时,以PO为直径的圆与CD不可能相切.
当2≤t≤5时,设以PQ为直径的⊙O与CD相切于点K,
则有PC=10-2t,DQ=8-t,OK⊥DC.
∵OK是梯形PCDQ的中位线,
∴PQ=20K=PC+DO=18-3t.
在直角梯形PCDQ中,PO2=CD2+(DO-CP)2
解得:t=
13±
15
2

13+
15
2
>5,不合题意舍去.
2<
13-
15
2
<5,
因此,当t=
13-
15
2
时,以PQ为直径的圆与CD相切.
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