Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条非直径的弦，且AB∥CD，连接AD和BC，
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）如果AB=2AD=4，且A、B、C、D四点在同一抛物线上，请在图中建立适当的直角坐标系，求出该抛物线的解析式．
（3）在（2）中所求抛物线上是否存在点P，使得S_△PAB=

1

2

S_{四边形ABCD}？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行弦所夹的弧相等，在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等解答；
（2）以圆心O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，先求出点A、B的坐标，再连接OD，过点D作DE⊥AO于点E，可以证明△AOD是等边三角形，然后求出OE、DE的长度，从而得到点D的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）根据对称性求出CD的长度，然后求出四边形ABCD的面积，然后求出点P到x轴的距离，再分点P在x轴上方与下方两种情况得到点P的纵坐标，代入抛物线解析式计算求出点P的横坐标，即可得解．

解答：解：（1）AD=BC．
理由如下：∵AB∥CD，
∴

AD

=

BC

，
∴AD=BC；

（2）如图，建立平面直角坐标系，∵AB=2AD=4，
∴AO=BO=2，
∴点A、B的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），
连接OD，过点D作DE⊥AO于点E，
则OD=AO=2，
∴△AOD是等边三角形，
OE=

1

2

AO=

1

2

×2=1，
DE=

OD2-OE2

=

22-12

=

3

，
∴点D的坐标为（-1，

3

），
设过A、B、C、D四点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

4a-2b+c=0 4a+2b+c=0 a-b+c= 3

，
解得

a=- 3 3 b=0 c= 4 3 3

，
所以，该抛物线的解析式为y=-

3

3

x²+

4 3

3

；

（3）存在．理由如下：
由对称性可得CD=2OE=2×1=2，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

，
设点P到AB的距离为h，∵S_△PAB=

1

2

S_{四边形ABCD}，
∴

1

2

×4•h=

1

2

×3

3

，
解得h=

3 3

4

，
①当点P在x轴上方时，点P的纵坐标为

3 3

4

，
所以，-

3

3

x²+

4 3

3

=

3 3

4

，
解得x=±

7

2

，
此时，点P的坐标为（-

7

2

，

3 3

4

）或（

7

2

，

3 3

4

），
②当点P在x轴下方时，点P的纵坐标为-

3 3

4

，
所以，-

3

3

x²+

4 3

3

=-

3 3

4

，
解得x=±

5

2

，
此时，点P的坐标为（-

5

2

，-

3 3

4

）或（

5

2

，-

3 3

4

），
综上所述，抛物线上存在点P（-

7

2

，

3 3

4

）或（

7

2

，

3 3

4

）或（-

5

2

，-

3 3

4

）或（

5

2

，-

3 3

4

），使得S_△PAB=

1

2

S_{四边形ABCD}．

点评：本题综合考查了二次函数的问题，主要利用了平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，等腰梯形的性质，等边三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的特征，（3）注意要分点P在x轴上方与下方两种情况讨论．