题目内容
【题目】如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）①不在；②最大值为
．
【解析】
试题分析：（1）已知顶点坐标，又抛物线经过原点，用待定系数可求出抛物线解析式；
（2）①根据抛物线的对称性求出E点坐标，再求出直线ME的解析式，把t知代入验证点P是否在直线ME上；
②最后一问设出P，N坐标，根据几何关系求出PN，然后分两种情况讨论：（1）PN=0；（2）PN≠0；把求多边形面积S转化为求函数最值问题．
试题解析：（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4），故可设其关系式为
，又∵抛物线经过O（0，0），∴得
，解得a=﹣1，∴所求函数关系式为
，即．
（2）①点P不在直线ME上．根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0），又M的坐标为（2，4），设直线ME的关系式为y=kx+b．于是得：
，解得：
，所以直线ME的关系式为y=﹣2x+8．
由已知条件易得，当t=
时，OA=AP=，∴P（，）．
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=﹣2x+8，∴当t=时，点P不在直线ME上．
②S存在最大值．理由如下：
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA=AP=t，∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，
），∴AN=（0≤t≤3），∴AN﹣AP=（）﹣t=
=t（3﹣t）≥0，∴PN=．（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S=
DCAD=×3×2=3．
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形．
∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=（CD+PN）AD=
=
=
，其中（0＜t＜3），由a=﹣1，0＜
＜3，此时S最大=．
综上所述，当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合．
