Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．

（1）发现：
△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；
（2）思考：
线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；
（3）探究：
当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∠CPN+∠NPB=180°，

∴2∠NPM+2∠APE=180°，

∴∠MPN+∠APE=90°，

∴∠APM=90°，

∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，

∴∠CPM=∠PAB．

又∵∠C=∠B=90°，

∴△CMP∽△BPA．

（2）

设PB=x，则CP=4﹣x．

∵△CMP∽△BPA，

∴ ，

∴CM= x（4﹣x）．

如图1所示：作MG⊥AB于G．

∵AM= = ，

∴AG最小值时，AM最小．

∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣2）2+3，

∴x=2时，AG最小值=3．

∴AM的最小值= =5．

（3）

∵△ABP≌△ADN，

∴∠PAB=∠DAN，AP=AN，

又∵∠PAB=∠EAP，∠AEP=∠B=90°，

∴∠EAP=∠EAN，

∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°．

如图2：在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．

∴∠KPA=∠KAP=22.5°，

∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，

∴∠BPK=∠BKP=45°，

∴PB=BK=z，AK=PK= z，

∴z+ z=4，

∴z=4 ﹣4．

∴PB=4 ﹣4．

【解析】发现：先证明∠MPA=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠CPM=∠PAB，结合条件∠C=∠B=90°，可证明量三角形相似；
思考：设PB=x，则CP=4﹣x，依据相似三角形的性质可得到CM= x（4﹣x），作MG⊥AB于G，依据勾股定理可得到AM= ，则AG最小值时，AM最小，然后由AG=AB﹣BG=AB﹣CM得到AG与x的函数关系，依据二次函数的性质可求得当x=2时，AG最小值=3；
探究：依据全等三角形的性质和翻折的性质可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．然后可证明△BPK为等腰直角三角形，故此得到PB=BK=z，AK=PK= z，最后依据AK+BK=4列出关于z的方程求解即可．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．