题目内容
如图已知AB是⊙O的切线,切点为B,AO交⊙O于点C,过C点作DC⊥OA,交AB于点D。
(1)求证:∠CDO=∠BDO;
(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,求CD的长;
(3)求阴影部分的面积。
(1)求证:∠CDO=∠BDO;
(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,求CD的长;
(3)求阴影部分的面积。
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026373431868.gif)
解:(1)∵AB切⊙O于点B,
∴OB⊥AB,即∠B=90°,
又∵DC⊥OA,
∴∠OCD=90°,
在Rt△COD与Rt△BOD中,
∵OD=OD,OB=OC,
∴Rt△COD≌Rt△BOD(HL)
∴∠CDO=∠BDO;
(2)在Rt△ABO中,∠A=30°,OB=4,
∴OA=8,
∴AC=OA-OC=8-4=4,
在Rt△ACD中,tan∠A=
,
又∠A=30°,AC=4,
∴CD=AC·tan30°=
;
(3)由(2)知AC=OC=4,DC⊥OA,
∴DC为OA的垂直平分线
∴DO=DA,∠DOC=∠A=30°
由(1)知,∴Rt△COD≌Rt△BOD
∴∠BOC=2∠DOC=60°,
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026373901623.gif)
在Rt△AOB中,tan∠A=
,∠A=30°,OB=4,
∴AB=![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026374531287.gif)
∴
,
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026375151888.gif)
∴
。
∴OB⊥AB,即∠B=90°,
又∵DC⊥OA,
∴∠OCD=90°,
在Rt△COD与Rt△BOD中,
∵OD=OD,OB=OC,
∴Rt△COD≌Rt△BOD(HL)
∴∠CDO=∠BDO;
(2)在Rt△ABO中,∠A=30°,OB=4,
∴OA=8,
∴AC=OA-OC=8-4=4,
在Rt△ACD中,tan∠A=
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026373591053.gif)
又∠A=30°,AC=4,
∴CD=AC·tan30°=
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026373591022.gif)
(3)由(2)知AC=OC=4,DC⊥OA,
∴DC为OA的垂直平分线
∴DO=DA,∠DOC=∠A=30°
由(1)知,∴Rt△COD≌Rt△BOD
∴∠BOC=2∠DOC=60°,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026373901623.gif)
在Rt△AOB中,tan∠A=
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026374061044.gif)
∴AB=
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026374531287.gif)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026374531809.gif)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026375151888.gif)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/c02/20110926/201109261026375152313.gif)
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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