题目内容

【题目】如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60°后,发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO,我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后,交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称∠OAB为“叠弦角”,△AOP为“叠弦三角形”

【探究证明】

(1)请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(△AOP)是等边三角形;

(2)如图2,求证:∠OAB=∠OAE′

【归纳猜想】

(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为

(4)图n中,“叠弦三角形” 等边三角形(填“是”或“不是”)

(5)图n中,“叠弦角”的度数为 (用含n的式子表示)

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)15°,24°;(4)是;(5)

【解析】

试题分析:(1)先由旋转的性质,再判断出△APD≌△AOD',最后用旋转角计算即可;

(2)先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN,在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可;

(3)先判断出△AD′O≌△ABO,再利用正方形,正五边形的性质和旋转的性质,计算即可;

(4)先判断出△APF≌△AE′F′,再用旋转角为60°,从而得出△PAO是等边三角形;

(5)用(3)的方法求出正n边形的,“叠弦角”的度数.

试题解析:(1)如图1,∵四ABCD是正方形,由旋转知:AD=AD',∠D=∠D'=90°,∠DAD'=∠OAP=60°,∴∠DAP=∠D'AO,∴△APD≌△AOD'∴AP=AO,∵∠OAP=60°,∴△AOP是等边三角形

(2)如图2,作AM⊥DE于M,作AN⊥CB于N.∵五ABCDE是正五边形,由旋转知:AE=AE',∠E=∠E'=108°,∠EAE'=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E'AO∴△APE≌△AOE'(ASA)∴∠OAE'=∠PAE.

在Rt△AEM和Rt△ABN中,∠AEM=∠ABN=72°,AE=AB∴Rt△AEM≌Rt△ABN (AAS),∴∠EAM=∠BAN,AM=AN.在Rt△APM和Rt△AON中,AP=AO,AM=AN∴Rt△APM≌Rt△AON (HL),∠PAM=∠OAN,∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB (等量代换).

(3)由(1)有,△APD≌△AOD',∴∠DAP=∠D′AO,在△AD′O和△ABO中,AD=AB,AO=AO,∴△AD′O≌△ABO,∴∠D′AO=∠BAO,由旋转得,∠DAD′=60°,∵∠DAB=90°,∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°,∴∠D′AD=∠D′AB=15°,同理可得,∠E′AO=24°,故答案为:15°,24°.

(4)如图3,∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形,∴∠F=F′=120°,由旋转得,AF=AF′,EF=E′F′,∴△APF≌△AE′F′,∴∠PAF=∠E′AF′,由旋转得,∠FAF′=60°,AP=AO

∴∠PAO=∠FAO=60°,∴△PAO是等边三角形.

故答案为:是.

(5)同(3)的方法得,∠OAB=[(n﹣2)×180°÷n﹣60°]÷2=

故答案:

练习册系列答案
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【题目】问题提出:用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?

问题探究:不妨假设能搭成种不同的等腰三角形,为探究之间的关系,我们可以从特殊入手,通过试验、观察、类比,最后归纳、猜测得出结论.

探究一:

1)用3根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?

此时,显然能搭成一种等腰三角形。所以,当时,

2)用4根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?

只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形

所以,当时,

3)用5根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形

若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形

所以,当时,

4)用6根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形

若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形

所以,当时,

综上所述,可得表


3

4]

5

6


1

0

1

1

探究二:

1)用7根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?

(仿照上述探究方法,写出解答过程,并把结果填在表中)

2)分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三

角形?(只需把结果填在表中)


7

8

9

10






你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,……

解决问题:用根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?

(设分别等于,其中是整数,把结果填在表中)











问题应用:用2016根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(要求写出解答过程)其中面积最大的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒。(只填结果)

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