Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA= ，将△ABC沿直线l翻折，恰好使点A与点B重合，直线l分别交边AB、AC于点D、E；
（1）求△ABC的面积；
（2）求sin∠CBE的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，tanA= ，

∴ = ，

∴AC=2BC，

在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，

即BC2+4BC2=25，

解得BC= ，

所以，AC=2 ，

△ABC的面积= ACBC= × ×2 =5

（2）解：设CE=x，则AE=AC﹣CE=2 ﹣x，

∵△ABC沿直线l翻折点A与点B重合，

∴BE=AE=2 ﹣x，

在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，

即 2+x2=（2 ﹣x）2，

解得x= ，

所以，CE= ，

BE=2 ﹣x=2 ﹣ = ，

所以，sin∠CBE= = =

【解析】（1）根据∠A的正切用BC表示出AC，再利用勾股定理列方程求出BC，再求出AC，然后根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）设CE=x，表示出AE，再根据翻折变换的性质可得BE=AE，然后列方程求出x，再利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用翻折变换（折叠问题）的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．