题目内容
26、
复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．
（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明．若不成立，请说明理由．
分析：此题的两个小题思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知了AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，进而得出BQ=CP的结论．
解答：
证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
即∠QAB=∠CAP；
在△BQA和△CPA中，
AQ=AP，∠QAB=∠CAP，AB=AC，
∴△BQA≌△CPA（SAS）；
∴BQ=CP．
（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：
∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，
即∠QAB=∠PAC；
在△QAB和△PAC中，
AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，
∴△QAB≌△PAC（SAS），
∴BQ=CP．
证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
即∠QAB=∠CAP；
在△BQA和△CPA中，
AQ=AP，∠QAB=∠CAP，AB=AC，
∴△BQA≌△CPA（SAS）；
∴BQ=CP．
（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，
即∠QAB=∠PAC；
在△QAB和△PAC中，
AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，
∴△QAB≌△PAC（SAS），
∴BQ=CP．
点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键．
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