Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；

（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）当m=2时，s最大是9；（3）存在点P（2，﹣3）或P（1+，3）或P（1﹣，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．

【解析】

（1）利用抛物线的对称性可得到点D的总表，然后将A、C、D的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b、c的值，从而可得到二次函数的解析式；

（2）设M（m，m2﹣m﹣3），|yM|=﹣m2+m+3，由S=S△OCM+S△OAM可得到S与m的函数关系式，然后利用配方法可求得S的最大值；

（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，则点P的纵坐标为﹣3，将y=﹣3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标；当AB为对角线时，AB与CP互相平分，则点P的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标．

解：（1）∵A（4，0），对称轴是直线x=l，

∴D（﹣2，0）．

又∵C（0，﹣3）

∴,

解得．a=，b=﹣，c=﹣3，

∴二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．

（2）如图1所示：

设M（m，m2﹣m﹣3），|yM|=﹣m2+m+3，

∵S=S△OCM+S△OAM

∴S=×OC×m+×OA×|yM|=×3×m+×4×（﹣m2+m+3）

S =﹣m2+3m+6=﹣（m﹣2）2+9，

当m=2时，s最大是9．

（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，

∴PC∥x轴．

∴点P的纵坐标为﹣3．

将y=﹣3代入得x2﹣x﹣3=﹣3，解得：x=0或x=2．

∴点P的坐标为（2，﹣3）．

当AB为对角线时．

∵ACBP为平行四边形，

∴AB与CP互相平分，

∴点P的纵坐标为3．

把y=3代入得： x2-x﹣3=3，整理得：x2﹣2x﹣16=0，

解得：x=1+或x=1﹣．

综上所述，存在点P（2，﹣3）或P（1+，3）或P（1-，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．