题目内容
【题目】如图1,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y= x2﹣x+3的绳子.
(1)求绳子最低点离地面的距离;
(2)因实际需要,在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面1.8米,求MN的长;
(3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为,设MN离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,当2≤k≤2.5时,求m的取值范围.
【答案】(1)m;(2)MN的长度为2.1m;(3)m的取值范围是4≤m≤8﹣2.
【解析】
试题分析:(1)直接利用配方法求出二次函数最值得出答案;(2)利用顶点式求出抛物线F1的解析式,进而得出x=3时,y的值,进而得出MN的长;(3)根据题意得出抛物线F2的解析式,得出k的值,进而得出m的取值范围.
试题解析:(1)∵a=>0,
∴抛物线顶点为最低点,
∵y=x2﹣x+3=(x﹣4)2+ ,
∴绳子最低点离地面的距离为:m;
(2)由(1)可知,对称轴为x=4,则BD=8,
令x=0得y=3,
∴A(0,3),C(8,3),
由题意可得:抛物线F1的顶点坐标为:(2,1.8),
设F1的解析式为:y=a(x﹣2)2+1.8,
将(0,3)代入得:4a+1.8=3,
解得:a=0.3,
∴抛物线F1为:y=0.3(x﹣2)2+1.8,
当x=3时,y=0.3×1+1.8=2.1,
∴MN的长度为:2.1m;
(3)∵MN=DC=3,
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上,
∴抛物线F2的顶点坐标为:(m+4,k),
∴抛物线F2的解析式为:y=(x﹣m﹣4)2+k,
把C(8,3)代入得:(8﹣m﹣4)2+k=3,
解得:k=﹣(4﹣m)2+3,
∴k=﹣(m﹣8)2+3,
∴k是关于m的二次函数,
又∵由已知m<8,在对称轴的左侧,
∴k随m的增大而增大,
∴当k=2时,﹣(m﹣8)2+3=2,
解得:m1=4,m2=12(不符合题意,舍去),
当k=2.5时,﹣(m﹣8)2+3=2.5,
解得:m1=8﹣2 ,m2=8+2(不符合题意,舍去),
∴m的取值范围是:4≤m≤8﹣2.