Question

【题目】已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为 个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x2+4x+3=0，

∴x1=﹣1，x2=﹣3，

∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，

∴m=﹣1，n=﹣3，

∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），

∴ ，

∴ ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，

（2）

解：令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，

∴x1=﹣1，x2=3，

∴C（3，0），

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴顶点坐标D（1，﹣4），

过点D作DE⊥y轴，

∵OB=OC=3，

∴BE=DE=1，

∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠DBE=45°，

∴∠CBD=90°，

∴△BCD是直角三角形

（3）

解：如图，

∵B（0，﹣3），C（3，0），

∴直线BC解析式为y=x﹣3，

∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，

∴点M的横坐标为t，

∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，

∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），

过点Q作QF⊥PM，

∴△PQF是等腰直角三角形，

∵PQ= ，

∴QF=1，

当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，

PM=t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，

∴S= PM×QF= （﹣t2﹣3t）=﹣ t2+ t，

如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，

PM=t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3），

∴S= PM×QF= （t2﹣3t）= t2﹣ t

【解析】（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是判定△BCD是直角三角形．