Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过变换τ得到点P′（x′，y′），该变换记作τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

（a，b为常数）．例如，当a=1，且b=1时，τ（-2，3）=（1，-5）．
（1）当a=1，且b=-2时，τ（0，1）=

 

；
（2）若τ（1，2）=（0，-2），则a=

 

，b=

 

；
（3）设点P（x，y）是直线y=2x上的任意一点，点P经过变换τ得到点P′（x′，y′）．若点P与点P′重合，求a和b的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）将a=1，b=-2，τ（0，1），代入

x′=ax+by y′=ax-by

，可求x′，y′的值，从而求解；
（2）将τ（1，2）=（0，-2），代入

x′=ax+by y′=ax-by

，可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（3）由点P（x，y）经过变换τ得到的对应点P'（x'，y'）与点P重合，可得τ（x，y）=（x，y）．根据点P（x，y）在直线y=2x上，可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求解．

解答：解：（1）当a=1，且b=-2时，x′=1×0+（-2）×1=-2，y′=1×0-（-2）×1=2，
则τ（0，1）=（-2，2）；                   

（2）∵τ（1，2）=（0，-2），
∴

a+2b=0 a-2b=-2

，
解得a=-1，b=

1

2

；                   

（3）∵点P（x，y）经过变换τ得到的对应点P'（x'，y'）与点P重合，
∴τ（x，y）=（x，y）．
∵点P（x，y）在直线y=2x上，
∴τ（x，2x）=（x，2x）．
∴

x=ax+2bx 2x=ax-2bx.

，
即

(1-a-2b)x=0 (2-a+2b)x=0.

∵x为任意的实数，
∴

1-a-2b=0 2-a+2b=0.

，
解得

a= 3 2 b=- 1 4 .

．
∴a=

3

2

，b=-

1

4

．
故答案为：（-2，2）；-1，

1

2

．

点评：考查了一次函数综合题，关键是对题意的理解能力，具有较强的代数变换能力，要求学生熟练掌握解二元一次方程组．