Question

如图所示，在矩形ABCD中，M是BC上一个动点，DE⊥AM，E为垂足，
（1）求证：△ADE∽△ABM；
（2）若3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x²-（k-2）x+2k=0的两个根．求k的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,根与系数的关系,矩形的性质

专题：

分析：（1）先根据矩形的性质，得到AD∥BC，则∠DAE=∠AMB，又由∠DEA=∠B，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE∽△AMB；
（2）根据根与系数的关系，列出方程组解答即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
又∵∠DEA=∠B=90°，
∴△ADE∽△ABM；
（2）∵AB，BC的长是方程x²-（k-2）x+2k=0的两个根，
∴

AB+BC=k-2 AB•BC=2k

，
∵3AB=2BC，
∴

5 3 BC=k-2 2 3 BC2=2k

，
即3k²-37k+12=0，解得k=12或k=

1

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．（1）中根据矩形的对边平行进而得出∠DAE=∠AMB是解题的关键，此题还将动点问题与一元二次方程和矩形的性质相结合，综合性不错．