题目内容
(2013•资阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值是
1+
3 |
1+
.3 |
分析:连接CE,交AD于M,根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时,PE+BP的值最小,即可此时△BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,先求出BC和BE长,代入求出即可.
解答:
解:连接CE,交AD于M,
∵沿AD折叠C和E重合,
∴∠ACD=∠AED=90°,AC=AE,∠CAD=∠EAD,
∴AD垂直平分CE,即C和E关于AD对称,CD=DE=1,
∴当P和D重合时,PE+BP的值最小,即此时△BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,
∵∠DEA=90°,
∴∠DEB=90°,
∵∠B=60°,DE=1,
∴BE=
,BD=
,
即BC=1+
,
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1+
+
=1+
,
故答案为:1+
.
解:连接CE,交AD于M,
∵沿AD折叠C和E重合,
∴∠ACD=∠AED=90°,AC=AE,∠CAD=∠EAD,
∴AD垂直平分CE,即C和E关于AD对称,CD=DE=1,
∴当P和D重合时,PE+BP的值最小,即此时△BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,
∵∠DEA=90°,
∴∠DEB=90°,
∵∠B=60°,DE=1,
∴BE=
| ||
3 |
2 |
3 |
3 |
即BC=1+
2 |
3 |
3 |
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1+
2 |
3 |
3 |
1 |
3 |
3 |
3 |
故答案为:1+
3 |
点评:本题考查了折叠性质,等腰三角形性质,轴对称-最短路线问题,勾股定理,含30度角的直角三角形性质的应用,关键是求出P点的位置,题目比较好,难度适中.
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