题目内容

【题目】如图,以RtABCAC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点PBC的中点,连接EPAD

(1)求证:PE是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为3,∠B=30°,求P点到直线AD的距离.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

1)连接FO,由PBC的中点,AO=CO,得到OPAB,由于AC是⊙O的直径,得出CEAE,根据OPAB,得出OPCE,于是得到OP所在直线垂直平分CE,推出PC=PEOE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到结论.
2)设P点到直线AD的距离为d,记PAD的面积SPAD,根据三角形的面积得到d= ①由勾股定理得BC=6,根据平行线的性质得到∠OPC=B=30°,推出OEA为等边三角形,得到∠EOA=60°,在RtACD中,由勾股定理得:AD==3 ,将以上数据代入①得即可得到结论.

(1)证明:连接CE,如图所示:

AC为⊙O的直径,

∴∠AEC=90°

∴∠BEC=90°

∵点FBC的中点,

EF=BF=CF

∴∠FEC=FCE

OE=OC

∴∠OEC=OCE

∵∠FCE+OCE=ACB=90°

∴∠FEC+OEC=OEF=90°

EF是⊙O的切线;

(2)解:设P点到直线AD的距离为d,记PAD的面积SPAD

则有:SPAD=ADd=PDAC

d=

∵⊙O的半径为3,∠B=30°

∴∠BAC=60°AC=6AB=12

由勾股定理得BC=6

PC=3

OP分别是ACBC的中点,

OPAB

∴∠OPC=B=30°

OE=OA,∠OAE=60°

∴△OEA为等边三角形,

∴∠EOA=60°

∴∠ODC=90°﹣∠COD=90°﹣∠EOA=30°

∴∠ODC=OPC=30°

OP=OD

OCPD

CD=PC=3

RtACD中,由勾股定理得:AD==3

将以上数据代入①得:d===

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