Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C

（1）填空：b＝　 ，c＝　 ，点C的坐标为　 ．

（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．

（3）如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．

Answer 1

【答案】（1）1， 4，C（﹣2，0）；（2）y＝﹣m2+m ，PQ与OQ的比值的最大值为；（3）S△PBA＝12．

【解析】

（1）通过一次函数解析式确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b，c的值，令y=0便可得C点坐标．
（2）分别过P、Q两点向x轴作垂线，通过PQ与OQ的比值为y以及平行线分线段成比例，找到，设点P坐标为（m，-m2+m+4），Q点坐标（n，-n+4），表示出ED、OD等长度即可得y与m、n之间的关系，再次利用即可求解．
（3）求得P点坐标，利用图形割补法求解即可．

（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．

∴A（4，0），B（0，4）．

又∵抛物线过B（0，4）

∴c＝4．

把A（4，0）代入y＝﹣x2+bx+4得，

0＝﹣×42+4b+4，解得，b＝1．

∴抛物线解析式为，y＝﹣x2+x+4．

令﹣x2+x+4＝0，

解得，x＝﹣2或x＝4．

∴C（﹣2，0）．

（2）如图1，

分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D．

设P（m，﹣m2+m+4），Q（n，﹣n+4），

则PE＝﹣m2+m+4，QD＝﹣n+4．

又∵＝y．

∴n＝．

又∵，即

把n＝代入上式得，

整理得，4y＝﹣m2+2m．

∴y＝﹣m2+m．

ymax＝．

即PQ与OQ的比值的最大值为．

（3）如图2，

∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝45°

∠PBA+∠CBO＝45°

∴∠OBP＝∠CBO

此时PB过点（2，0）．

设直线PB解析式为，y＝kx+4．

把点（2，0）代入上式得，0＝2k+4．

解得，k＝﹣2

∴直线PB解析式为，y＝﹣2x+4．

令﹣2x+4＝﹣x2+x+4

整理得， x2﹣3x＝0．

解得，x＝0（舍去）或x＝6．

当x＝6时，﹣2x+4＝﹣2×6+4＝﹣8

∴P（6，﹣8）．

过P作PH⊥cy轴于点H．

则S四边形OHPA＝（OA+PH）OH＝（4+6）×8＝40．

S△OAB＝OAOB＝×4×4＝8．

S△BHP＝PHBH＝×6×12＝36．

∴S△PBA＝S四边形OHPA+S△OAB﹣S△BHP＝40+8﹣36＝12．