题目内容
【题目】已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝5时，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣5，求b的值
【答案】（Ⅰ）-4；（Ⅱ）y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）利用配方法得到y＝（x+1）2﹣4，然后根据二次函数的性质解决问题；
（Ⅱ）二次函数解析式为y＝x2+bx+5，把问题转化为x2+bx+5＝1有两个相等的实数解，然后根据判别式的意义确定b的值，从而得到此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）利用配方法得到y＝（x+
）2+5﹣
，则抛物线的对称轴为直线x＝﹣，讨论：若﹣≤1，根据二次函数的性质得到x＝1时，y＝﹣5，把这组对应值代入解析式求得的b不满足条件；若1＜﹣＜3，利用二次函数的性质当x＝﹣时5﹣＝﹣5，求得的b不满足条件；若﹣≥3，解得b≤﹣6，利用二次函数的性质得到x＝3时，y＝﹣5，把这组对应值代入解析式可求出b的值．
解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣4；
（Ⅱ）当c＝5时，二次函数解析式为y＝x2+bx+5，
∵在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，
∴x2+bx+5＝1有两个相等的实数解，
方程整理为x2+bx+4＝0，
∵△＝b2﹣4×4＝0，解得b＝4或﹣4，
∴此时二次函数的解析式为y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c＝5时，二次函数解析式为y＝x2+bx+5，
∵y＝（x+）2+5﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
若﹣≤1，解得b≥﹣2，在1≤x≤3范围内y随x的增大而增大，则x＝1时，y＝﹣5，
∴1+b+5＝﹣5，解得b＝﹣11（舍去）；
若1＜﹣＜3，即﹣6＜b＜﹣2，在1≤x≤3范围内，当x＝﹣时y有最小值﹣5，即5﹣＝﹣5，解得b＝﹣2
（舍去）或b＝2（舍去）；
若﹣≥3，解得b≤﹣6，在1≤x≤3范围内y随x的增大而减下，则x＝3时，y＝﹣5，
∴9+3b+5＝﹣5，解得b＝﹣
；
综上所述，b的值为﹣.
