Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-

1

2

x+15交x轴于点A，交y轴于点C，点D为线段AC上一点，OD=OC，过点C作x轴平行线，与直线OD交于点B，连接AB

（1）求直线OD的解析式；
（2）点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CB向终点B运动（点P不与点C、点B重合），过点P作y轴的平行线交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段AC于点F，若点P运动时间为t秒，线段EF的长度为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接BF，当t为何值时，△BEF为等腰三角形？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求A的坐标是（30，0），C的坐标是（0，15），过点D作DH⊥y轴于点H．根据三角函数的知识，以及勾股定理可求点D的坐标是（12，9）．再根据待定系数法可求直线OD的解析式；
（2）根据平行线的性质可得x=30-3t，再分两种情况：当0＜t＜6时；当6＜t＜10时，讨论可求d与t之间的函数关系式；
（3）分①当0＜t＜6时，当EF=EB时，当FE=FB时，当BE=BF时；②6＜t＜10时，EF=EB．讨论可得△BEF是等腰三角形时t的值．

解答：解：（1）如图1，∵直线AC分别与x轴，y轴交于点A，C．
∴A的坐标是（30，0），C的坐标是（0，15），
∴OD=OC=15．
tan∠CAO=

OC

OA

=

1

2

，
过点D作DH⊥y轴于点H．
∴DH∥OA，tan∠CDH=tan∠CAO，
∴

CH

DH

=

1

2

，
设OH=a，则CH=15-a，DH=2（15-a）=30-2a．
在直角△ODH中，OH²+HD²=OD²，即a²+（30-2a）²=15²．
解得：a=9或15（舍去）．
∴OH=9，HD=30-2×9=12，
∴点D的坐标是（12，9）．
设直线OD的解析式是y=kx，把（12，9）代入y=kx得：k=

3

4

．
∴函数的解析式是：y=

3

4

x；

（2）如图1，∵PE∥y轴，P点的横坐标是2t．
∴E的横坐标是2t，把x=2t代入y=

3

4

x中，y=

3

2

t．
∵EF∥x轴．
∴点F的纵坐标是

3

2

t，把y=

3

2

t代入y=-

1

2

x+15，
解得：x=30-3t，
当0＜t＜6时，d=30-3t-2t=30-5t，
当6＜t＜10时，d=2t-（30-3t）=5t-30；

（3）∵C（0，5，1，CB∥x轴．
∴B的纵坐标是15，
把y=15代入y=

3

4

x中，解得：x=20，
∴B的坐标是（20，15）．
∴CB=20．
OB=

OC2+CB2

=

152+202

=25．
∴cos∠CBO=

CB

OB

=

4

5

．
∵CP=2t，
∴BP=20-2t．
∵cos∠PBE=cos∠CBO．∴

PB

EB

=

4

5

，

20-2t

EB

=

4

5

．
∴BE=

5

4

（20-2t）．
①当0＜t＜6时，
当EF=EB时，30-5t=

5

4

（20-2t），
解得：t=2；
当FE=FB时，如图2，过点F作FM⊥OB于点M．
∵FM⊥EB．
∴M是BE的中点．
∴EM=

1

2

BE=

1

2

×

5

4

（20-t）=

5

8

（20-2t）．
∵EF∥CB，
∴cos∠MEF=cos∠CBO．
∴

ME

EF

=

4

5

，

5 8 (20-2t)

30-5t

=

4

5

，
解得：t=

46

11

．
当BE=BF时，这种情况不成立；
②6＜t＜10时，因为∠FEB是钝角，只能EF=EB．如图3．
5t-30=

5

4

（20-2t）．
解得：t=

22

3

．
综上所述：当t=2或

46

11

或

22

3

时，△BEF是等腰三角形．

点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，三角函数，勾股定理，待定系数法，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用，综合性较强，有一定的难度．