题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+cx轴的一个交点为A30).与y轴的交点为B03),其顶点为C

1)求抛物线的解析式;

2)将AOB沿x轴向右平移m个长度单位(0m3)后得到另一个FPE,点AOB的像分别为点FPE

①如图①,当点E在直线AC上时,求m的值.

②设所得的三角形FPEABC重叠部分的面积为S,求S关于m的函数表达式.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2)①m;②当0m时,S=﹣m2+3m;当m3时,Sm23m+

【解析】

1)根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

2)把点E的坐标代入直线AC的解析式来解答;

3)平移后的三角形记为PEF.根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=-x+3.易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=-x+3+m.连结BE,直线BEACG,则G3).在AOB沿x轴向右平移的过程中.根据图象,易知重叠部分面积有两种情况:①当0m≤时;②当m3时;讨论可得用m的代数式表示S

1)由题意可知,抛物线y=﹣x2+bx+cx轴的一个交点为A30),与y轴的交点为B03),则,解得

故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

2)由题意知,Em3).

由(1)得:y=﹣x2+2x+3=﹣(x12+4,故C14).

设直线AC的解析式为ykx+tk≠0).

A30),C14)代入,得

解得

故直线AC的解析式为:y=﹣2x+6

Em3)代入知,﹣2m+63

解得m

3)平移后的三角形记为PEF

设直线AB的解析式为ykx+d,则

解得

则直线AB的解析式为y=﹣x+3

AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0m3)得到PEF

易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m

由(2)知,直线AC的解析式为y=﹣2x+6

连结BE,直线BEACG,则G3).

AOB沿x轴向右平移的过程中.

①当0m时,如图1所示.

PEABKEFACM

BEEKmPKPA3m

联立,解得

即点M3m2m).

SSPEFSPAKSAFM

PE2PK2Fh

3m2m2m

=﹣m2+3m

②当m3时,如图2所示.

PEABK,交ACH

因为BEm,所以PKPA3m

又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6

所以当xm时,得y62m

所以点Hm62m).

SSPAHSPAK

PAPHPA2

=﹣3m62m)﹣3m2

m23m+

综上所述,当0m时,S=﹣m2+3m;当m3时,Sm23m+

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