题目内容
已知:如图,抛物线
与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线
与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线
,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.


(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线


(1)y=-
;(2)Q(1,0);(3)存在,P1(
,2)或P2(
,2)或P3(
,3)或P4(
,3).






试题分析:(1)把点A和点C的坐标代入


试题解析:(1)由题意得

解得

∴所求抛物线得解析式为:y=-


(2)设点Q的坐标为(m,0),过点E作EG⊥X轴与点G
由-




∴点B的坐标为(-2,0).
∴AB=6,BQ= m+2.
又∵QE∥AC,
∴△BQE∽△BAC,
∴

即

∴EG=

∴

=

=

=

=

又∵-2≤m≤4,
∴当m=1时,


(3)存在.在△ODF中
①若DO=DF时,
∵A(4,0),D(2,0),
∴AD=OD=DF=2.
又在RT△AOC中,OA=OC=4,
∴∠OAC=45°.
∴∠DFA=∠OAC=45°.
∴∠ADF=90°.
此时点F的坐标为(2,2).
由



此时点P的坐标为:P(



②若OF=DF时,过点F作FM⊥x轴与点M,
由等腰三角形的性质得:OM=

∴F(1,3).
由由



此时点P的坐标为:P(



③若OD=OF,
∵OA=OC=4,且∠AOC=90°,
∴AC=

∴点O到AC的距离为

而OF=OD=2<


∴AC上不存在点使得OF=OD=2.
此时不存在这样直线L,使得△ODF是等腰三角形.
综上所述,存在这样的直线L,使得△ODF是等腰三角形.
所求点P的坐标为:
P1(





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