题目内容

如图，直线l经过点A（1，0），且与曲线 $数学公式$ （x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p-1）（p≥2）作x轴的平行线分别交曲线 $数学公式$ （x＞0）和 $数学公式$ （x＜0）于M，N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）是否存在实数p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）把B（2，1）代入 $\text{[math]}$ （x＞0）得m=2×1=2，

设直线l的解析式是y=kx+b，
把A（1，0），B（2，1）代入y=kx+b中，得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴直线l的解析式是y=x-1；

（2）存在．理由如下：
∵P点坐标为（p，p-1），
∴点P在直线l上，
而MN∥x轴，
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
∴M（ $\text{[math]}$ ，p-1），N（- $\text{[math]}$ ，p-1），
∴MN= $\text{[math]}$ ，
∴S_△AMN= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •（p-1）=2，
①当p=2时，p-1=1，此时P与B重合，△APM不存在；
②当p＞2时，如图，
S_△APM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （p²-p-2）．
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4• $\text{[math]}$ （p²-p-2）=2，
整理得，p²-p-3=0，解得 $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），p₂= $\text{[math]}$ ．
∴满足条件的p的值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把B（2，1）代入 $\text{[math]}$ （x＞0）即可得到m的值；然后利用待定系数法求出直线l的解析式；
（2）由于P点坐标为（p，p-1）得到点P在直线l上，则点M、N的纵坐标都为p-1，得到M（ $\text{[math]}$ ，p-1），N（- $\text{[math]}$ ，p-1），可得MN= $\text{[math]}$ ，计算出S_△AMN= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •（p-1）=2，
讨论：当p=2时，p-1=1，此时P与B重合，△APM不存在；当p＞2时，S_△APM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （p²-p-2），利用S_△AMN=4S_△APM，得到4• $\text{[math]}$ （p²-p-2）=2，然后解方程得到
解得 $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），p₂= $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会计算三角形的面积．